ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109006
Тема:    [ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника a,b и c . A=60o . Доказать, что

3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c).


Решение

Преобразуем данное выражение:

3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c),


3(a+b)(a+c)=(a+b+c)(2a+b+c),


3a2+3ac+3ab+3bc=(a+b+c)2+a(a+b+c),


a2+bc=b2+c2.

Итак, доказываемое равенство равносильно следующему: a2=b2+c2-bc . Но это же соотношение получается, если применим теорему косинусов для угла в 60o : cos A= cos 60o=1/2, a2=b2+c2-2bc cos A . Учащиеся, не знакомые с теоремой косинусов, могут получить этот результат с помощью теоремы Пифагора, разбив треугольник на два прямоугольных треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1964
Номер 14
Задача
Название Задача 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .