ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109001
Темы:    [ Построения с помощью вычислений ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы этих сторон были взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть искомый треугольник построен. AM=MC, BK=KC, AK MB . Из прямоугольных треугольников AMO и OKB запишем: OM2+OA2=AM2, OK2+OB2=KB2, AC=2b, AM=b, BC=2a , KB=a , AK=3x, AO=2x , MB=3y, OB=2y, OM=y, OK=x (рис.) Подставим введённые значения в данные уравнения


Решая эту систему, получим x=/ , y=/ . Достаточно построить один из этих отрезков, чтобы построить треугольник по двум сторонам и медиане. Отрезки и a можно построить с помощью теоремы Пифагора. Теперь же x=(· a)/a , очевидно, можно построить.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1963
Номер 13
Название 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .