ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108998
Темы:    [ Площадь многоугольника ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина гипотенузы c и сумма длин катетов s известны.

Решение

Продолжим сторону EA и опустим на неё перпендикуляр FP . Продолжим также сторону CL и опустим на неё перпендикуляр KT (рис.). Треугольники TCK и PFA равны треугольнику ABC (по гипотенузе и острому углу, например, FAP= BAC как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Треугольник BMN равен треугольнику ABC . Треугольник EAF равновелик треугольнику AFP , треугольник LCK равновелик треугольнику CTK , так как FA есть медиана треугольника EFP , а CK – медиана треугольника TKL . Поэтому площадь нашего шестиугольника состоит из площади трёх квадратов и четырёх равновеликих треугольников. Если длину катетов обозначить соответственно через a и b , то площадь шестиугольника будет равна

a2+b2+c2+4ab/2=a2+b2+2ab+c2=(a+b)2+c2=s2+c2.


Ответ

s2+c2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1963
Номер 13
Название 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .