Условие
На окружности даны три точки
A,B,C . Построить (циркулем и
линейкой) на этой окружности четвёртую точку
D так, чтобы в
полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.
Решение
Допустим, что искомая точка
D найдена. Тогда в четырехугольник
ABDC можно вписать окружность, а следовательно, суммы его
противоположных сторон равны между собой (рис.):
AC+BD=CD+AB или B-AC=BD-CD.
Отложим на стороне
DB отрезок
DK=CD . Тогда
KB=DB-CD=AB-AC . В
треугольнике
CKB две стороны (
CB и
KB ) выражены через стороны
данного треугольника
ABC . Угол
CKB тоже можем выразить
через данные элементы. Треугольник
CDK равнобедренный (
CD=DK ),
CDK=180╟ - A как противоположные углы вписанного в
круг четырехугольника.
CKD=
KCD=(180o-(180o- A))/2= A/2 ,
BKC=180o- CKD=180o- A/2 . Таким образом,
треугольник
KBC можно построить по двум сторонам и углу, лежащему
против одной из них. Поскольку этот угол тупой, то такой треугольник
будет единственным, если только его можно построить по заданным двум
сторонам. Для этого достаточно, чтобы сторона, противолежащая тупому
углу была больше стороны, прилежащей к нему, т. е. чтобы
KB=AB-AC<CB , что выполняется, так как
AB,BC,AC – стороны
данного треугольника. Угол
CKB тупой, так как
A/2
острый как половина угла треугольника. Построив треугольник
KBC по
стороне
BC ,
KB=AB-AC и углу
CKB-180o-
A/2 , пристроим его к стороне
CB по другую сторону от вершины
A . Продолжив
BK до пересечения с окружностью, получим, что
нетрудно доказать, искомую точку
D . Если
AC=AB , то
KB=0 .
Данный способ неприменим. В этом случае искомая точка
D
диаметрально противоположна точке
A , в чем нетрудно убедиться.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1963 |
|
Номер |
13 |
|
Название |
13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Задача |
|
Название |
Задача 10.2 |
