Задача 108987

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Какими должны быть значения a и b,  чтобы многочлен   x⁴ + x³ + 2x² + ax + b был полным квадратом?

Решение

Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,
x⁴ + x³ + 2x² + ax + b = (x² + px + q)².  Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим
2p = 1,  p² + 2q = 2,  2pq = a,  q² = b.  Решив эту систему уравнений, найдём  p = ½,  q = a = ⅞,  b = ⁴⁹/₆₄.

Ответ

a = ⅞,  b = ⁴⁹/₆₄.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.2