ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108984
Темы:    [ Иррациональные уравнения ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Замена переменных (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти все действительные решения уравнения

36/+4/=28-4-.


Решение

Из условия видно, что x 2,y 1 . Введём обозначения: =a2, =b2 . Наше уравнение можно переписать так: 36/a2+4/b2+4a2+b2-28=0. Разобьём свободный член на два слагаемых и перегруппируем уравнения:

(36/a2-24+4a2)+(4/b2-4+b2)=0

или
(6/a-2a)2+(2/b-b)2=0.

Но сумма двух квадратов действительных чисел может равняться нулю только при условии, что каждое слагаемое равно нулю. Поэтому 6/a=2a, 2/b=b или a2=3, b2=2 . Возвращаясь к прежним обозначениям, найдём: x=11, y=5 .

Ответ

x=11, y=5 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1962
Номер 12
Название 12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .