Условие
Дан острый угол
ABC . На стороне
BC отложены отрезки
BD= 4 см
и
BE= 14 см. Найти на стороне
BA такие две точки
M и
N ,
чтобы
MN=3 см и
DMN= MNE .
Решение
Допустим, что искомые точки
M и
N найдены,
MN – данный
отрезок и
DMN= MNE (рис.) Проведём
DL||AB и отложим
DL=MN (3 см). Соединим точку
M с точкой
D и
N с
L .
MDLN
– параллелограмм.
BMD= MNL как соответствующие углы
при параллельных
MN и
DL и секущей
AB .
BMD= ENA
как смежные к равным углам
DMA и
MNE , следовательно,
MNL= ENA . Опустим из точки
L перпендикуляр на прямую
AB и
продолжим его до пересечения с прямой
EN в точке
K .
KNM= ANE как вертикальные. Поэтому
KNM= MNL .
KFN= FNL как прямоугольные треугольники с общим
катетом
FN и равными острыми углами. Следовательно,
KF=FL .
Построив
DL||AB и
DL=NM , опускаем перпендикуляр из точки
L на
AB и продолжаем его на отрезок
FK=FL . Точку
K соединяем с
точкой
E и находим точку
N в пересечении этой прямой с прямой
AB . Откладываем отрезок
NM на стороне
AB и находим точку
M .
Доказательство вытекает из анализа.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Год |
1962 |
|
Номер |
12 |
|
Название |
12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Задача |
|
Название |
Задача 8.2 |
