Задача 108974

Тема:    [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Зная, что x²+x+1=0 , определить x¹⁴+1/x¹⁴ .

Решение

По условию x 0 . Разделив данное уравнение почленно на x , получим x+1/x=-1 . Умножим данное уравнение почленно на x : x³+x²+x=0 , откуда x³=-(x²+x)=1 (в силу нашего уравнения).

x¹⁴+1/x¹⁴=(x³)⁴x²+1/(x³)⁴x²=x²+1/x²=

=(x+1/x)²-2=1-2=-1.

Ответ

-1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.3