Задача 108963

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Можно ли из геометрической прогрессии 1, ½, ¼, ⅛, ... выделить геометрическую прогрессию с суммой членов, равной  а) ¹/₇;  б) ⅕?

Решение

В выделенной прогрессии первый член имеет вид 2^–k, а знаменатель –  2^–p, где  k ≥ 0,  p > 0  – целые числа. Поэтому её сумма   

  а) Возьмём  p = k = 3.  Тогда  S = ¹/₇.

  б) Для того чтобы сумма S равнялась ¹/₇, необходимо, чтобы  2^p – 1 = 5·2^p–k.  Но  2^p – 1  делится на 5 только при p, кратном 4, а тогда  2^p – 1  делится на
16 – 1 = 15.

Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1961
Номер	11
Название	11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
задача
Название	Задача 10.2