ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108955
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке X, серединный перпендикуляр к стороне AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y и Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что  AX = YZ.


Решение

Пусть указанные в условии серединные перпендикуляры пересекаются в центре O описанной окружности треугольника ABC. Перпендикуляр, опущенный из точки O на хорду AZ проходит через её середину P. Если M и N – середины сторон AB и AC соответственно, то
OXY = ∠AXM = 90° – ∠MAX = 90° – ½ ∠A,  ∠OYX = ∠NYA = 90° – ∠NAY = 90° – ½∠A = ∠OXY.  Значит, треугольник OXY – равнобедренный. Его высота OP является медианой, поэтому  PX = PY,  то есть P – середина XY. Следовательно,  AX = AP – PX = ZP – PY = YZ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6306

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .