Задача 108951

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

AA1 и CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC . Прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AA1C и CC1A пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y . Докажите, что BX=BY .

Решение

Пусть окружность с центром P , вписанная в треугольник CC1A , касается прямой BC в точке X , а окружность с центром Q , вписанная в треугольник AA1C , касается прямой BC в точке Y . Поскольку P и Q – точки пересечения биссектрис треугольников CC1A и AA1C ,

APC = 90^o+ AC1C = 90^o+45^o= 135^o,

AQC = 90^o+ AA1C = 90^o+45^o= 135^o.
Таким образом, из точек P и Q , лежащих по одну сторону от прямой AC , отрезок AC виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник APQC – вписанный. Обозначим BAC = α , ACB = γ . Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
BXY = BAP + APX = BAP + ACQ = +,

BYX = BCQ + CQY = BCQ + CAP = + = BXY.
Следовательно, треугольник BXY – равнобедренный, BX=BY . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6302