Задача 108937

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC. Известно, что  AH = 1  и  2∠MAC = ∠MCA.  Найдите сторону BC.

Решение

  Обозначим  ∠MAC = α.  Тогда  ∠MCA = 2α.  Отрезок HM – медиана прямоугольного треугольника BHC, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому  HM = MC.  Треугольник CMH – равнобедренный, значит,  ∠CHM = ∠MCH = 2α.
  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠AHM = ∠CHM – ∠MAC = α.
  Поэтому треугольник AHM – также равнобедренный,  HM = AH = 1.  Следовательно,  BC = 2HM = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6288