Задача 108918

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник KLMN – вписанный и описанный одновременно; A и B – точки касания вписанной окружности со сторонами KL и MN.
Докажите, что  AK·BM = r²,  где r – радиус вписанной окружности.

Решение

  Пусть O – центр вписанной окружности данного четырёхугольника. Тогда KO и MO – биссектрисы углов K и M. Поскольку четырёхугольник вписанный, сумма этих углов равна 180°. Поэтому  ∠AKO + ∠BMO = 90°.
  Значит, прямоугольные треугольники OAK и MBO подобны. Следовательно,  AO : BM = AK : OB,  Следовательно,  AK·BM = AO·OB = r².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6269