Задача 108891

Темы:    [ Поворотная гомотетия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники AFB и BLC, причём один из них лежит внутри треугольника ABC, а другой построен во внешнюю сторону. При этом  ∠AFB = ∠BLC  и  ∠CAF = ∠ACL.  Докажите, что прямая FL отсекает от угла ABC равнобедренный треугольник.

Решение

  Обозначим  ∠A = α,  ∠C = γ.  Для определённости будем считать, что вершины A, B и C треугольника ABC ориентированы по часовой стрелке и  α ≥ γ.  Тогда треугольник AFB отложен во внутреннюю сторону, треугольник BLC – во внешнюю (см. рис.).

  Заметим, что равнобедренные треугольники AFB и BLC подобны. Обозначим через φ углы при их основаниях. Тогда по условию  α – φ = γ + φ,  откуда
φ = ½ (α – γ).  Треугольник BAC переходит в треугольник BFL при поворотной гомотетии с центром B, коэффициентом  ^BF/_BA = ^BL/_LC  и углом поворота φ против часовой стрелки. Значит, (ориентированная) прямая FL получается из (ориентированной) прямой AC поворотом на угол φ против часовой стрелки. Следовательно, угол между лучами FL и AB равен  ∠A – φ = α – ½ (α – γ) = ½ (α + γ),  а аналогичный угол между FL и BC равен  γ + φ = ½ (α + γ).
  Поскольку эти два угла равны, треугольник, отсекаемый прямой FL от угла BAC, – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6240