Задача 108868

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояние от точки M0(x0;y0;z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 .

Решение

Через данную точку M0 проведём прямую, перпендикулярную данной плоскости. В качестве направляющего вектора этой прямой возьмём вектор = (A;B;C) . Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Подставив x , y и z , выраженные из этой системы через t , в уравнение плоскости, найдём значение t , для которого точка M принадлежит данной плоскости:
A(x0+ At)+B(y0+Bt)+C(z0+Ct)+D = 0 (A2+B2+C2)t = -(Ax0+By0+Cz0+D)

t=-.
Расстояние ρ от точки M0 до данной плоскости равно расстоянию между точками M0 и найденной точкой пересечения проведённой прямой с данной плоскостью, т.е.
ρ = M0M = =

= = |t| =

=· = .

Ответ

ρ = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7563