ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108863
Темы:    [ Метод координат в пространстве ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости Oxy и Oyz равны соответственно и , а площадь проекции на плоскость Oxz – целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

Решение

Пусть вектор, перпендикулярный плоскости исходного треугольника, образует с осями координат Ox , Oy и Oz углы α , β и γ соответственно. Тогда

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Обозначим площадь исходного треугольника через S , а площади проекций на координатные плоскости Oyz , Oxz и Oxy через Sx , Sy и Sz соответственно ( Sz= , Sx= ). По теореме о площади проекции плоской фигуры на плоскость
= Sx = S| cos α|, Sy = S| cos β|, = Sz = S| cos γ|.

Тогда
7+6+Sy2 = S2 cos2α + S2 cos2β+S2 cos2γ = S2( cos2α + cos2β+ cos2γ) = S2.

Поэтому
S2-Sy2 = 13, (S-Sy)(S+Sy) = 13.

Поскольку оба сомножителя в левой части равенства – положительные целые числа, причём второй сомножитель больше первого, равноство возможно только в случае, когда

Из этой системы находим, что Sy=7 .

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7558

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .