Задача 108834

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В каком отношении делит объём куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении: а) 2:1; б) 3:1?

Решение

Известно, что плоскость, проходящая через концы трёх рёбер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, делит диагональ параллелепипеда, исходящую из этой вершины, в отношении 1:2. Кроме того, если параллелепипед – куб, то эта плоскость перпендикулярна указанной диагонали. Пусть объём куба ABCDA1B1C1D1 равен V . 1) Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A1 , B и C1 . Эта плоскость перпендикулярна диагонали DB1 и делит её в отношении 1:2, т.е., если P – точка пересечения диагонали с указанной плоскостью, то B1P:PD = 1:2 . Тогда объём отсечённого тетраэдра A1BC1B1 равен V . Следовательно, искомое отношение равно . 2) Плоскость α , перпендикулярная диагонали DB1 и делящая диагональ точкой Q в отношении B1Q:QD = 1:3 , параллельна плоскости A1BC1 . Значит, плоскость α отсекает от куба тетраэдр, подобный тетраэдру A1BC1B1 , причём коэффициент подобия равен = = . Поэтому объём тетраэдра, отсекаемого плоскостью α , равен ()3· V = . Следовательно, плоскость α делит объём куба в отношении = .

Ответ

1:5 ; 9:119 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7236