Задача 108774

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB . Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Пусть α – угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

tg α = tg MAP = = = .
Тогда
cos α = = , sin α = .
Поскольку центр описанной сферы равноудален от вершин основания ABCD , он лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды ABCDP плоскостью, проходящей через точки A , P и C . Получим треугольник APC , около которого описана окружность с центром, лежащим на высоте PM , причём радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCDP , а т.к. PC = PA = , то
R = = = = = .


Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB . Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Пусть прямая PM вторично пересекает описанную сферу в точке Q . Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A , P и Q . Получим окружность радиуса R (радиус сферы), с центром на отрезке PQ . Поскольку PQ – диаметр окружности, треугольник APQ – прямоугольный, а AM – его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
AM2 = PM· MQ = PM(2R-PM),
или
= · (2R-),
откуда находим, что R = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7017