Задача 108772

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB . Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Пусть α – угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

tg α = tg MAP = = = .
Тогда
cos α = = , sin α = .
Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую PC . Прямая AC – ортогональная проекция наклонной MF на плоскость основания пирамиды. Так как AC BD , то по теореме о трёх перпендикулярах MF BD . Значит, MF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PC и BD . Из прямоугольного треугольника CMF находим, что
MF = CM sin FCM = CM sin α = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7015