ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108699
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC; B1 и C1 – основания высот, опущенных из вершин B и C соответственно. Точка D – основание перпендикуляра, опущенного из точки B1 на AB; E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC, с отрезком BB1. Докажите, что  EC1 || AC.


Решение

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC.  DE || AH,  поэтому  ∠DEB1 = ∠AHB1.  Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром AH, поэтому  ∠ AC1B1 = ∠AHB1. Таким образом, из точек C1 и E, лежащих по одну сторону от прямой DB1, отрезок DB1 виден под одним и тем же углом. Значит, точки D, C1, E и B1 лежат на одной окружности, а так как  ∠B1DC1 = 90°,  то B1C1 – диаметр этой окружности. Поэтому  EC1BB1.  Следовательно,  EC1 || AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6235

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .