|
|
 |
Условие
На продолжении стороны AC (за точку A) остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, а на продолжении стороны BC (за точку C) отмечена точка E, причём AD = CE. Известно, что 2∠A = ∠C. Докажите, что ∠CDE < ½ (∠ABD + ∠A).
Решение
Обозначим ∠A = α, ∠BDC = δ, ∠CDE = γ. Тогда 2α = ∠C, ∠ABD = ∠A − ∠BDC = α − δ, ∠BED = ∠CED = ∠C − ∠BDC = 2α − γ.
Нам нужно доказать, что 2γ < (α − δ) + α, или, что то же самое, γ + δ < 2α − γ, то есть ∠BDE < ∠BED.
Отметим на отрезке AC такую точку K, что ∠BKC = ∠C. Тогда ∠ABK = ∠BKC − ∠BAK = α. Треугольники KBC и AKB – равнобедренные, поэтому
BC = BK = AK, значит, BE = BC + CE = AK + AD = DK. В треугольнике BKD против тупого угла BKD (смежного с углом при основании равнобедренного треугольника BCK) лежит большая сторона BD, следовательно, BD > DK = BE.
В треугольнике BDE против большей стороны лежит больший угол, поэтому ∠BDE < ∠BED
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6234 |
