ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108694
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K и L – середины сторон AB и BC четырёхугольника ABCD. На стороне CD выбрана такая точка M, что  CM : DM = 2 : 1.  Известно, что  DK || BM  и
AL || CD.  Докажите, что четырёхугольник ABCD – трапеция.


Решение

Пусть   MD = a.  Тогда  CM = 2a,  а прямая AL пересекает отрезки DK и BM в точках P и Q соответственно. DPQM – параллелограмм, поэтому
PQ = DM = a,  а так как K – середина AB, то  AP = PQ = a.  Кроме того, LQ – средняя линия треугольника BCM, поэтому  QL = ½ CM = a.  Значит,
AL = 3a = CD.  Следовательно, ALCD – параллелограмм, а ABCD – трапеция.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6230

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .