Задача 108692

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что одна из сторон выпуклого четырёхугольника с диагоналями a и b не превосходит .

Решение

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, O – точка пересечения его диагоналей AC и BD , AC = b a = BD . Не уменьшая общности, будем считать, что AOB 90^o (рис.1). Если OA и OB или OC и OD , то AB или CD и всё доказано. Поэтому предположим, что OB , а OA . Тогда угол BAO острый, т.к. в треугольнике ABO против угла BAO лежит лежит меньшая сторона: OB OA . Следовательно, основание высоты BH треугольника ABO будет лежать на стороне AO . Но тогда AH или HC . Если AH , то

AB = = ,
т.к. BH BO . Для CH аналогично. Утверждение доказано.

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, O – точка пересечения его диагоналей AC и BD , AC = b , BD=a . Предположим, что все стороны четырёхугольника ABCD больше p= . Тогда точки B и D лежат вне окружностей радиуса R=p с центрами в точках A и C (рис.2). Эти окружности пересекаются. Действительно, если это не так, то
2p = b,
что невозможно, т.к. гипотенуза больше катета. Пусть E и F – точки пересечения этих окружностей, M – точка пересечения AC и EF . Тогда
EF = 2EM = 2= a.
Покажем, что BD>EF . Действительно, при AO AM окружность с центром A высекает на BD хорду KL , длина которой не меньше EF , а при AO > AM – хорду, меньшую EF высекает на BD окружность с центром C . Мы пришли к противоречию, т.к. BD = a = EF . Следовательно, хотя бы одна сторона четырёхугольника не больше p .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6228