ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108673
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и N соответственно. M – середина стороны AC . Известно, что BKM = BNM . Докажите, что перпендикуляры к сторонам исходного треугольника в точках K , N и M пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точка S – точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M и K , T – точка пересечения перпендикуляров, проведённых из точек M и N . Четырёхугольник AMSK – вписанный, поэтому

SAM = SKM = BKM - 90o.

Аналогично,
TCM = BNM - 90o.

Значит, SAM = TCM . Поскольку точки S и T лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи. Для остальных случаев аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4499

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .