Задача 108667

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке X, а прямые MC₁ и AC – в точке Y. Докажите, что  XY || BC .

Решение

  Поскольку B₁ и C₁ – основания высот,  ∠AB₁C₁ = ∠B.  Аналогично  ∠YB₁X = ∠CB₁A₁ = ∠B.
  Отрезок C₁M – медиана прямоугольного треугольника BC₁C, поэтому  ∠YC₁X = ∠MC₁B = ∠B = ∠YB₁X.   Значит, точки X, Y, B₁ и C₁ лежат на одной окружности. Поэтому  ∠YXC₁ = ∠AB₁C₁ = ∠B.  Следовательно,  XY || BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4493