Задача 108658

Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Решение

Достаточно доказать, что B'K2-B'L2=IK2-IL2 .
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R , полупериметр треугольника равен p , а вписанная окружность радиуса r касается сторон AB и BC в точках X и Y соответственно. Обозначим AB=c , AC=b , BC=a . Тогда

BK=CM = p-AB=-c=,

BL=AM=p-BC=-a=,

BX=BY=p-AC=-b=,

AK=AB-BK=c-=,

CL=BC-BL=a-=,

XK=|BX-BK|=|-|= |c-b|,

LY=|BY-BL|=|-|= |a-b|.

Из прямоугольных треугольников ABB' , CBB' , KPI и LQI находим, что
AB'2=BB'2-AB2=4R2-c2, CB'2=BB'2-CB2=4R2-a2,

B'K2=AK2+AB'2=()2+4R2-c2,

B'L2=CL2+CB'2=()2+4R2-a2,

IK2=XK2+IX2=(c-b)2+r2, IL2=LY2+IY2=(a-b)2+r2,
поэтому
B'K2-B'L2=()2+4R2-c2- ()2-4R2+a2=

=()2-()2+ a2-c2=(a-c)(2b-a-c),

IK2-IL2=(c-b)2+r2- (a-b)2-r2=(a-c)(2b-a-c)=B'K2-B'L2.
Что и требовалось доказать.


Отложим от точки B вектор , равный вектору . Достаточно доказать, что BT KL .
Поскольку BB' — диаметр окружности, то
BAB' = BCB'= 90^o,
поэтому A и C — проекции точки B' на стороны AB и BC соответственно.
Пусть T' — точка, симметричная точке T относительно биссектрисы BI угла ABC . Обозначим
ABT = CBT' = α.
Тогда проекции AX и CY отрезка IB' на стороны AB и BC равны соответственно IB' cosα и IB' cos ( ABC -α) , проекции отрезка BT' на эти же стороны равны соответственно BT' cos ( ABC -α) и BT' cos α . Значит, проекции вектора на стороны AB и BC равны проекциям вектора на стороны BC и AB соответственно, а т.к. AX=AM=BL и CY=CM=BK , то проекции вектора на стороны BC и AD равны соответственно и . Поэтому
BKT' = BLT' = 90^o,
и четырёхугольник KBLT' — вписанный. Тогда
BT'K = BLK, TBL + BLK = T'BK + BT'K= 90^o.
Следовательно, BT KL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4484