Задача 108644

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D, причём  DC = 2AD,  O – центр вписанной окружности треугольника DBC, E – точка касания этой окружности с прямой BD. Оказалось, что  BD = BC.  Докажите, что  AE || DO.

Решение

Пусть P – точка касания вписанной окружности равнобедренного треугольника BDC со стороной CD. Тогда  DE = DP = ½ CD = AD.  Значит, медиана DE треугольника AEP равна половине стороны AP. Поэтому  AE ⊥ PE, а так как  DO ⊥ PE,  то  AE || DO.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4460