ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108616
Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.


Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, A1, B1, C1 и D1 – основания перпендикуляров, опущенных из вершин соответственно A, B,C и D на диагонали, не проходящие через эти вершины. Поскольку AA1 и BB1 – высоты треугольника AOB, то треугольник AOB подобен треугольнику A1OB1. Аналогично треугольник BOC подобен треугольнику B1OC1. При этом коэффициенты подобия в обоих случаях равны OB/OB1. Поскольку  ∠B1A1C1 = ∠BAC  и  ∠A1C1B1 = ∠ACB,  то треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам.
  Аналогично подобны треугольники BCD и B1C1D1. Коэффициенты подобия у этих двух пар равны из-за наличия общей пары сходственных сторон. Следовательно, и четырёхугольники ABCD и A1B1C1D1 подобны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4432

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .