Задача 108615

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На данной окружности зафиксированы две точки A и B, а точка M пробегает всю окружность. Из середины K отрезка MB опускается перпендикуляр на прямую MA. Основание этого перпендикуляра обозначается через P. Найдите геометрическое место точек P.

Решение

  Пусть C – точка, диаметрально противоположная точке A, D – середина отрезка BC. Тогда KD – средняя линия треугольника CMB, поэтому
KD || MC ⊥ AM.  Но и  KP ⊥ AM  по условию. Следовательно, точки P, K и D лежат на одной прямой. Поскольку  ∠APD = 90°,  точка P лежит на окружности с диаметром AD.

  Докажем, что любая точка этой окружности, кроме A и B, удовлетворяет условию, то есть для каждой отличной от A и B точки P окружности с диаметром AD на данной окружности найдётся такая точка M, для которой перпендикуляр, восставленный к хорде AM в точке P, проходит через середину K хорды MB. Действительно, пусть прямая AP второй раз пересекает исходную окружность в точке M. Тогда CM ⊥ AM , а так как точка P лежит на окружности с диаметром AD, то  PD ⊥ AM.  Значит,  PD || MC .  В то же время, если K – середина MB, то KD – средняя линия треугольника MBC, значит,  KD || MC.  Следовательно, точка K лежит на прямой PD, то есть P – основание перпендикуляра, опущенного из середины хорды MB на MA.

Ответ

Окружность с диаметром AD (D – середина хорды, соединяющей B с точкой, диаметрально противоположной A) без точек A и B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4431