Задача 108614

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

Подсказка

Пусть  AB = c,  AC = b  – данные стороны треугольника ABC. Через вершину C проведите прямую, параллельную медиане BK.

Решение

  Предположим, что нужный треугольник ABC построен. При этом  AB = c  и  AC = b  – две его данные стороны, а медианы CD и BK перпендикулярны. Через вершину C проведём прямую, параллельную BK. Пусть эта прямая пересекает продолжение стороны AB в точке E. Поскольку  BK || EC,  а K – середина AC, то B – середина AE.

  Отсюда вытекает следующее построение. Отметим середину D отрезка AB. На продолжении отрезка AB за точку B отложим отрезок  BE = AB.  На отрезке DE как на диаметре построим окружность. С центром в точке A радиусом, равным b, построим вторую окружность. Если эти окружности пересекаются, то каждая точка пересечения есть искомая вершина C треугольника ABC.
  Задача не имеет решения, если  AC < AD  или  AC > AE, то есть отношение большего из данных отрезков к длине меньшего превосходит 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4430