ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108568
Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

S$\scriptstyle \Delta$ = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$,

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.


Решение

Пусть $ \gamma$ — угол треугольника, противолежащей стороне, равной c, a и b — остальные стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда

sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ab . $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4259

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .