Задача 108565

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его высот, делённого на синус угла между сторонами, на которые эти высоты опущены, т.е.

S = ^. ,

где h_a и h_b — высоты, опущенные на стороны, равные a и b, а угол между этими сторонами.

Решение

Пусть AM = h_a и BN = h_b — высоты треугольника ABC, BC = a и AC = b — стороны треугольника, ACB = . Из прямоугольных треугольников BNC и AMC находим, что

a = BC = = , b = AC = = .

Следовательно,

S_ABC = ab sin = ^{. . .} sin = ^. .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4256