Информация о задаче

Задача 108561

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Точка M лежит на прямой 3x - 4y + 34 = 0, а точка N — на окружности x² + y² - 8x + 2y - 8 = 0. Найдите наименьшее расстояние между точками M и N.

Заметим, что

x² + y² - 8x + 2y - 8 = 0 $\displaystyle \Leftrightarrow$ x² - 8x + 16 + y² + 2y + 1 = 25 $\displaystyle \Leftrightarrow$ (x - 4)² + (y + 1)² = 5².

Значит, центр окружности — точка Q(4; - 1), а радиус равен 5.

Пусть d — расстояние от точки Q до прямой 3x - 4y + 34 = 0. Тогда

d = $\displaystyle {\frac{\vert 3\cdot 4-4\cdot (-1) +34\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{50}{5}}$ = 10 > 5.

Значит, все точки данной прямой лежат вне данной окружности. Поэтому для каждой точки M данной прямой и каждой точки N данной окружности

MN > MQ - QN = MQ - 5 > d - 5 = 10 - 5 = 5,

причём это расстояние равно 5, если M — проекция точки Q на данную прямую.


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4252