Задача 108560

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Составьте уравнение окружности с центром в точке M(3;2), касающейся прямой y = 2x + 6.

Решение

Первый способ.

Пусть радиус искомой окружности равен R. Тогда расстояние от точки M до данной прямой также равно R. Запишем уравнение этой прямой в общем виде (2x - y + 6 = 0) и воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой:

R = = = 2.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

(x - 3)² + (y - 2)² = 20.

Второй способ.

Искомое уравнение имеет вид

(x - 3)² + (y - 2)² = R².

Подставим в левую часть этого уравнения y = 2x + 6. После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 5x² + 10x + 25 - R² = 0. Поскольку прямая и окружность имеют единственную общую точку, то полученное уравнение имеет ровно одно решение, значит, его дискриминант равен 0, т.е.

D = 100 - 20(25 - R²) = 20(5 - 25 + R²) = 20(R² - 20) - 0.

Отсюда находим, что R² = 20. Следовательно, искомое уравнение имеет вид

(x - 3)² + (y - 2)² = 20.

Ответ

(x - 3)² + (y - 2)² = 20.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4251