ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108559
Темы:    [ Метод координат на плоскости ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите расстояние между параллельными прямыми y = - 3x + 5 и y = - 3x - 4.


Решение

Первый способ.

Поскольку координаты точки A(0;5) удовлетворяют уравнению y = - 3x + 5, эта точка лежит на первой прямой, а т.к. прямые параллельны, то расстояние между ними равно расстоянию то точки A до второй прямой. Запишем уравнение этой прямой в общем виде (y + 3x + 4 = 0) и воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой:

d = $\displaystyle {\frac{\vert 5+3\cdot 0 +4\vert}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$.

Второй способ.

Пусть первая прямая пересекает ось OY в точке A(0;5), а вторая — в точке B(0; - 4). Тогда AB = 5 - (- 4) = 9. Если $ \alpha$ — острый угол, между каждой из этих прямых и осью OX, то tg$ \alpha$ = 3. Тогда

cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+{\rm tg }^{2} \alpha}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$.

Пусть C — проекция точки B на прямую y = - 3x + 5. Тогда $ \angle$ABC = $ \alpha$, а искомое расстояние между прямыми равно длине отрезка BC.

Из прямоугольного треугольника ABC находим, что

BC = AB cos$\displaystyle \alpha$ = 9 . $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$.


Ответ

$ {\frac{9}{\sqrt{10}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4250

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .