Информация о задаче

Задача 108559

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите расстояние между параллельными прямыми y = - 3x + 5 и y = - 3x - 4.

Решение

Первый способ.

Поскольку координаты точки A(0;5) удовлетворяют уравнению y = - 3x + 5, эта точка лежит на первой прямой, а т.к. прямые параллельны, то расстояние между ними равно расстоянию то точки A до второй прямой. Запишем уравнение этой прямой в общем виде (y + 3x + 4 = 0) и воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой:

d = $\displaystyle {\frac{\vert 5+3\cdot 0 +4\vert}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$ .

Второй способ.

Пусть первая прямая пересекает ось OY в точке A(0;5), а вторая — в точке B(0; - 4). Тогда AB = 5 - (- 4) = 9. Если $\alpha$ — острый угол, между каждой из этих прямых и осью OX, то tg $\alpha$ = 3. Тогда

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+{\rm tg }^{2} \alpha}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ .

Пусть C — проекция точки B на прямую y = - 3x + 5. Тогда $\angle$ ABC = $\alpha$ , а искомое расстояние между прямыми равно длине отрезка BC.

Из прямоугольного треугольника ABC находим, что

BC = AB cos $\displaystyle \alpha$ = 9^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$ .

Ответ

${\frac{9}{\sqrt{10}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4250