Задача 108533

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что окружность радиуса R с центром в точке A(a;b) имеет уравнение вида

(x - a)² + (y - b)² = R².

Подсказка

Вспомните определение окружности и примените формулу для расстояния между двумя точками на координатной плоскости.

Решение

Пусть точка M(x;y) принадлежит окружности радиуса R с центром A(a;b). Тогда точка M удалена от точки A на расстояние, равное R, т.е. MA = R. По формуле для расстояния между двумя точками на плоскости

(x - a)² + (y - b)² = R².

Обратно, пусть точка M(x;y) такова, что (x - a)² + (y - b)² = R². Тогда её расстояние от точки A(a;b) равно R. Значит, точка M лежит на окружности радиуса R с центром в точке A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4202