Информация о задаче

Задача 108497

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что трапеция ABCD — равнобедренная, BC $\Vert$ AD и BC > AD. Трапеция ECDA также равнобедренная, причём AE $\Vert$ DC и AE > DC. Найдите BE, если известно, что косинус суммы двух углов $\angle$ CDE и $\angle$ BDA равен ${\frac{1}{3}}$ , а DE = 7.

Подсказка

Около равнобоких трапеций ABCD и ECDA описана одна и та же окружность.

Решение

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то около неё можно описать окружность, а т.к. AE $\Vert$ CD, то $\angle$ AEC = $\angle$ DAE = 180^o - $\angle$ ADC. Значит, точка E также лежит на этой окружности.

Диагонали равнобокой трапеции равны, поэтому BD = AC = DE = 7.

Обозначим $\angle$ CDE = $\alpha$ , $\angle$ BDA = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ AED = $\displaystyle \angle$ CDE = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AEB = $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle \beta$ ,

Поэтому

$\displaystyle \angle$ BED = $\displaystyle \angle$ AED + $\displaystyle \angle$ AEB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ .

По условию задачи

cos( $\displaystyle \angle$ CDE + $\displaystyle \angle$ BDA) = cos( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Из равнобедренного треугольника BDE находим, что

BE = 2DE cos $\displaystyle \angle$ BED = 2^.7^.cos( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{14}{3}}$ .

Ответ

${\frac{14}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3982