Задача 108461

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка O является центром описанной окружности. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярная AO, пересекающая прямую AC в точке K, а через вершину C проведена прямая, также перпендикулярная AO, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите BC, если  BK = a,  CM = b.

Подсказка

Треугольники BCM и KBC подобны.

Решение

Из параллельности прямых KB и CM следует, что  ∠BCM = ∠KBC,  ∠AKB = ∠ACM.  Пусть прямая CM вторично пересекает описанную окружность в точке N. Тогда  ∠ACM = ∠ACN = ½ ⌣AN = ½ ⌣AC = ∠B = ∠MBC,  поэтому треугольники BCM и KBC подобны. Следовательно,  BC : KB = CM : BC,  откуда  BC² = BK·CM = ab.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1339