Задача 108456

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны отношения  AB : DC = 1 : 2  и  BD : AC = 2 : 3.  Найдите DA : BC.

Подсказка

Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке K. Тогда треугольник KAC подобен треугольнику KBD, а треугольник KAB – треугольнику KCD.

Решение

  Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке K (они не могут быть параллельными, так как  AB ≠ CD).  Тогда треугольники KAC и KBD подобны по двум углам. Значит,   KC : KD = AC : BD = 3 : 2.  Треугольники KAB и KCD также подобны по двум углам. Значит,  KB : KD = KA : KC = AB : CD = 1 : 2,  поэтому  KD = 2KB,  KC = 3KB,  KA = ³/₂ KB,  BC = 2KB,  AD = ½ KB.
  Следовательно,  AD : BC = 1 : 4.

Ответ

1 : 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1332