Задача 108449

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали вписанного в окружность радиуса R четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что  AB = BC = a,  BD = m.
Найдите радиус описанной окружности треугольника BCM.

Подсказка

Треугольники BCM и BDC подобны.

Решение

Вписанные углы BDC и BDA опираются на равные дуги, поэтому они равны. Значит,  ∠BCM = ∠CAB = ∠BDC.  Треугольники BCM и BDC подобны по двум углам c коэффициентом подобия  ^BC/_BD = ^a/_m.  Значит, радиус описанной окружности треугольника BCM равен ^a/_m·R.

Ответ

^aR/_m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1470