|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы la, lb, lc и ld внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых la и lb, lb и lc, lc и ld, ld и la обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.
Решение
Обозначим через O точку пересечения перпендикуляров. опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD. Обозначим также ∠BAK = ∠DAN = α,
∠CBL = ∠ABK = β, ∠DCM = ∠BCL = γ, ∠ADN = ∠CDM = δ.
Тогда 2(α + β + γ + δ) = 360° как сумма внешних углов четырёхугольника ABCD. Из треугольников AKB и CMD находим, что
∠AKB + ∠CMD = (180° – α – β) + (180° – γ – δ) = 360° – (α + β + γ + δ) = 180°.
Значит, треугольник OLM – равнобедренный, LO = OM. Аналогично, LO = OK. Следовательно, O – центр описанной окружности четырёхугольника KLMN. Поскольку LOM и LOK – центральные углы этой окружности, а LNM и LNK – вписанные, то ∠LNM = ½ ∠LOM = ½ (180° – 2(90° – γ)) = γ,
∠LNK = ½ ∠LOK = ½ (180° – 2(90° – β)) = β.
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке X (для определённости будем считать, что X лежит на луче BA). Поскольку L – точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B и C треугольника BXC, то она лежит на биссектрисе внутреннего угла при вершине X этого треугольника. Аналогично, точка N лежит на той же биссектрисе. Таким образом, прямая LN содержит биссектрису угла, образованного прямыми AB и CD, либо параллельна AB и CD, если AB || CD. В любом случае, прямая LN образует равные углы с AB и CD.
Рассмотрим случай пересечения прямых AB и CD. Поскольку LNM и LNK – внешние углы треугольников DXN и AXN, а по доказанному ∠DXN = ∠AXN, то ∠LNM – ∠CDM = ∠LNK – ∠BAK, или γ – δ = β – α. Значит, α + γ = β + δ = 90°, а
∠BAD + ∠BCD = (180° – 2α) + (180° – 2γ) = 360° – 2(α + γ) = 360° – 2·90° = 180°.
Следовательно, ABCD – вписанный четырёхугольник.
