ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108239
Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Точка A1 симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка C1 симметрична вершине C относительно прямой AB.
Докажите, что если точки A1, B и C1 лежат на одной прямой и  C1B = 2A1B,  то угол CA1B – прямой.


Решение

Обозначим  ∠ABC = β,  AB = c.  По условию  ∠A1BC = ∠C1BA = ∠B = β,  BA1 = BA = cBC1 = BC,  а так как  BC1 = 2BA1,  то  BC = 2c.  Точки A1, B и C1 лежат на одной прямой, поэтому  3β = ∠A1BC + ∠ CBA + ∠ABC1 = 180°.  Отсюда  β = 60°.  В треугольнике BA1C  A1B = cBC = 2c  и  ∠CBA1 = 60°.  Следовательно, этот треугольник – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6586
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 99.4.8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .