ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108230
Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC – точки N и M соответственно, причём
AE = NE  и  CE = ME.  Пусть K – точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.


Решение

  Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Обозначим  ∠BAC = ∠BCA = α.

  Первый способ. Пусть окружности, описанные около равнобедренных треугольников ANE и CME пересекаются в точке K1, отличной от E. Тогда  ∠AK1E = ∠ANE = α,  ∠EK1M = 180° – α.  Значит, точки A, K1 и M лежат на одной прямой. Аналогично, точки C, K1 и N также лежат на одной прямой. Следовательно, точка K1 совпадает с точкой K пересечения прямых AM и CN.
  Поскольку  ∠ANE = α = ∠BCE,  точки B, N, E и C лежат на одной окружности. Значит,  ∠ BEN = ∠BCN = ∠MCK = ∠MEK.
  Поскольку точки B и D симметричны относительно прямой AC, то
DEA = ∠BEA = ∠BEN + ∠AEN = ∠BEN + (180° – 2α) = ∠MEK + (180° – 2α) = ∠MEK + ∠CEM = ∠KEC.  Следовательно, точки K, E и D лежат на одной прямой.

  Второй способ. (П. Липкин) Поскольку  ∠CEN = ∠CEM + ∠MEN = (180° – 2α) + ∠MEN = ∠AEN + ∠MEN = ∠AEM,  треугольники CEN и MEA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  ∠ENC = ∠KAE.  Поэтому точки A, N, K, E лежат на одной окружности. Аналогично, точки C, M, K, E также лежат на одной окружности. Следовательно,  ∠AKE = ∠ANE = α = ∠EMC = ∠CKE,  то есть KE – биссектриса угла AKC. Поскольку  ∠ADC = 180° – 2α,  а  ∠AKC = 2α,  четырёхугольник AKCD – вписанный. Продолжение биссектрисы KE треугольника AKC пересекает описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги AC, не содержащей точки K, то есть в точке D.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6577
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 93.4.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .