ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108221
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Решение


При гомотетии с центром K , переводящей вершину A в вершину C , луч AB переходит в противоположно направленный с ним луч CD , луч AD – в противоположно направленный с ним луч CB , окружность s1 , вписанная вписанная в угол BAD , – в окружность s2 , вписанную в угол DCB . Поскольку окружности s1 и s2 гомотетичны относительно их общей точки K , то они касаются в этой точке. Значит, у них есть общая касательная в точке K . Эта касательная перпендикулярна линии центров этих окружностей. Пусть другой точке K' диагонали AC соответствует другая пара окружностей s1' и s2' . Окружности s1 и s1' вписаны в угол BAD , следовательно, гомотетичны с центром в точке A , а значит, их касательные, проведённые в точках K и K' соответственно, параллельны. Тогда параллельны и перпендикулярные им линии центров пар окружностей s1 , s2 и s1' и s2' .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6568
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .