Задача 108217
|
|
 |
Условие
Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M. Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB.
Решение
Поскольку MK – биссектриса внешнего угла при вершине M равнобедренного треугольника AMC, то MK || AC. Пусть продолжение отрезка MK за точку M пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K1. Дуги AK и CK1, заключённые между параллельными хордами KK1 и AC, равны. Поэтому ∠KBM = ∠KBC = ∠AKK1 = ∠AKM.
∠O1MO2 = ∠O1MK + ∠O2MK = α/2 + α/2 = α = ∠KMB, то треугольник O1MO2 подобен треугольнику KMB и переходит в него при композиции поворота на угол α/2 вокруг точки M и гомотетии с центром M. Следовательно, угол между прямыми O1O2 и KB также равен α/2. Аналогично, угол между прямыми O1O2 и KA равен α/2. Если прямая O1O2 пересекает прямые KB и KA в точках P и Q, то треугольник PKQ – равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершины K, является высотой, а значит, перпендикулярна прямой O1O2.
