ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108213
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Доказательство от противного ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.


Решение

  Предположим, что треугольник A1B1C1 – правильный.
  Если точка A лежит на отрезке B1C1, то из равенства  ∠C1B1A1 = ∠AB1C = 60°  следует, что C лежит на B1A1. При этом
BAC = 180° – ∠BAC1 – ∠CAB1 = 60°.  Аналогично,  ∠ACB = 60°.  Следовательно, треугольник ABC – правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит на B1C1.
  Рассмотрим треугольники A1BC1, B1CA1 и C1AB1. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A1BC1 и C1AB1, а на правом – треугольник A1BC1); иначе назовём его внутренним.

           

  Тогда к одной из вершин A1, B1, C1 прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A1B1C1 больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6560
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 02.4.8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .