ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108208
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка K, для которой  KD = DC, ∠BAC = ½ KDC,  ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что  ∠KDA = ∠BCA  или  ∠KDA = ∠KBA.


Решение

  Проведём биссектрису угла KDC до пересечения с прямой AB в точке O. Обозначим  ∠BAC = α,  ∠DAC = β,  ∠ADK = φ.  Возможны три случая.
  1) Точка O лежит на продолжении стороны AB за точку B. Поскольку  ∠ODC = ∠OAC = α,  то точки A, O, C и D лежат на одной окружности (рис. слева), поэтому  ∠DOC = ∠DAC = β,  ∠ACO = ADO = α + φ.
  Поскольку DO – биссектриса угла KDC и  KD = DC,  то DO – серединный перпендикуляр к отрезку KC. Значит,  ∠KOD = ∠DOC = β,
OKC = ∠OCK = ∠ACO = α + φ.
  Из точек B и O, лежащих по одну сторону от прямой KC, отрезок KC виден под углом 2β, значит, четырёхугольник KBOC – вписанный. Следовательно,  ∠BCA = ∠KOA = ∠OKC – ∠OAC = φ,  то есть  ∠BCA = ∠KDA.

           

  2) Точка O совпадает с B. Поскольку  KB = BC  (рис. в центре), то  ∠CKD = 90° – α,  ∠KDA = ∠CKD – ∠CAD = 90° – α – β,  ∠OKC = 90° – β,
ABK = ∠OKC – ∠BAC = 90° – β – α,  то есть  ∠KDA = ∠KBA.
  3) Точка O лежит на стороне AB. Покажем, что этот случай невозможен. Предположим противное (рис. справа). Как и раньше,  ∠ OAC = ∠ODC = α.  Поэтому четырёхугольник AOCD – вписанный, значит,  ∠COD = ∠CAD = β,  ∠KOC = 2∠COD = 2β = ∠KBC.
  Следовательно, четырёхугольник KOBC – вписанный. Но касательная к описанной окружности равнобедренного треугольника KOC, проведённая в точке O, параллельна AC, а точка B лежит выше неё. Поэтому точка B не может лежать на той же окружности. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6555
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 03.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .