ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108150
Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC точка O – середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M , а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой. Докажите, что AM2+CN2 = MN2 .

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно точки O.


Решение

При симметрии относительно точки O вершина A переходит в вершину C , точка M – в некоторую точку M' , отрезок AM – в отрезок CM' , равный AM . При этом, поскольку AM BC и CM'|| AM , то M'CN = 90o . Кроме того, в треугольнике MNM' высота NO является медианой, значит, M'N=MN . Следовательно,

AM2+CN2 = CM'2+CN2 = M'N2 = MN2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6500
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 8
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .