Задача 108078

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вневписанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Токарев С.И.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

Подсказка

Докажите, что E – центр вневписанной окружности треугольника ADB.

Решение 1

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а  ∠A = 120°.

Решение 2

Проведём через вершину B прямую, параллельную AD, до пересечения с прямой AC в точке G. Заметим, что  ∠GBA = ∠BAD = ∠DAE = ∠BGC,  то есть треугольник BAG равнобедренный  (AB = AG).  Как известно, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применяя это свойство к биссектрисам DE и BE, получим  DA : DC = AE : EC = BA : BC.  Но  DA : DC = BG : BC  (треугольники ACD и GCB подобны). Значит,  BA = BG  и треугольник BAG – равносторонний. Поэтому  ∠BAG = 60°.

Ответ

120°.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4358
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1997
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М1591