ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108058
Темы:    [ Метод координат ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.


Решение 1

  Как известно, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный. Пусть его вершины A, B и C имеют координаты  (4, 0),  (0, 3)  и  (0, 0)  соответственно; A2, B2 и C2 – основания биссектрис внешних углов (см. рис.).

  По свойству биссектрисы  C2B : C2A = 3 : 4,  то есть  C2B = 3BA,  поэтому точка C2 имеет координаты  (–12, 12).  Аналогично находим координаты точек
A2(0, –12)  и  B2(–6, 0).  Последняя точка является серединой отрезка с концами в точках C2 и A2.


Решение 2

  Поместим в вершины A и C массы –3 и 5 соответственно, а вершину B – две массы 4 и –4 (образовав две материальные точки B и B'). Найдём центр масс системы четырёх точек двумя способами.
  1) Точки B и B' взаимно уничтожаются, поэтому указанный центр масс совпадёт с точкой B2 – центром масс точек A и C.
  2) Центр масс точек A и B – это точка C2, центр масс точек С и B' – точка A2. Поскольку сумма масс каждой пары равна 1, общий центр масс находится в середине отрезка A2C2.

Замечания

1. Прямоугольность треугольника несущественна. Точно так же как в решении 2 доказывается
Теорема. Пусть в треугольнике ABC одна из сторон равна сумме двух других. Тогда одна их точек пересечения биссектрис внешних углов с продолжениями сторон делит пополам отрезок, соединяющий две другие.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4338
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .